概率与数理统计

事件的概率

古典概率

有限性：实验结果(基本事件)的个数有限。
等可能性：样本空间中每个基本事件发生的概率都相同。

若一个随机试验有 $n$ 个互斥且等可能的基本事件，其中事件 $A$ 包含 $m$ 个基本事件，则事件 $A$ 发生的概率为：

\[ P(A) = \frac{m}{n}, \quad 0 \leq m \leq n \]

基本计数原理

乘法原理

若一个实验可以分为 $m$ 个步骤，每个步骤有 $n_i$种可能的结果，则总的可能结果数为： $\(N = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_m$\)

加法原理

若一个实验有 $m$ 种互斥的方式，每种方式有 $n_i$ 种可能的结果，则总的可能结果数为： $\(N = n_1 + n_2 + \cdots + n_m$\)

排列问题

从 $n$ 个相异物件中取出 $r$ 个进行不同排列的总数，记作：

\[ P_n^r = n (n - 1)(n - 2) \dots (n - r + 1) \]

这是因为：

从 $n$ 个物件中取出排列中的第 $1$ 个，有 $n$ 种取法；
在剩下的 $n - 1$ 个中取出一个作为排列中的第 $2$ 个，有 $n - 1$ 种取法；
…
最后，在剩下的 $n - r + 1$ 个中取出一个作为排列中的第 $r$ 个，有 $n - r + 1$ 种取法。

因此，不同的排列方式数为：

\[ n, (n - 1), (n - 2), \dots, (n - r + 1) \]

这 $r$ 个数的积，即为排列数公式：

\[ P_n^r = n (n - 1)(n - 2) \dots (n - r + 1) \]

将上述表达式转换为阶乘形式，可以写作：

\[ P_n^r = \frac{n!}{(n - r)!} \]

其中： - $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 1$ - $(n - r)!$ 表示剩下未选的部分的全排列数

因此，$P_n^r$ 是从 $n$ 个元素中选择 $r$ 个后，全排列这 $r$ 个元素的总数。

组合问题

从 $n$ 个相异物件中取出 $r$ 个进行不考虑顺序的组合的总数，记作： $\(C_n^r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}, \quad 0 \leq r \leq n$\)

又称为二项式系数，因为它出现在二项式定理中：

\[ (a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n - r} b^r \]

其中 $\binom{n}{r}$ 表示从 $n$ 个元素中选 $r$ 个的组合数。

二项式系数

$(a + b)^n = (a + b)(a + b)\cdots(a + b)$ 展开时，每一项都是从每个括号中选 $a$ 或 $b$，共 $n$ 次选择。
要得到 $a^{n-i}b^i$ 这一项，就是从 $n$ 个括号中选 $i$ 个取 $b$，剩下 $n-i$ 个取 $a$。
从 $n$ 个中选 $i$ 个的方法数为 $\binom{n}{i}$，所以 $a^{n-i}b^i$ 的系数就是 $\binom{n}{i}$。

对称性

\[ \binom{n}{r} = \binom{n}{n - r} \]

边界值

\[ \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \]

递推关系（帕斯卡尔恒等式）

\[ \binom{n}{r} = \binom{n - 1}{r} + \binom{n - 1}{r - 1} \]

（可用于构造帕斯卡尔三角形）

几何概率

几何概率用于样本空间是连续的情况，比如长度、面积、体积等。

几何概率的定义为：

\[ P(A) = \frac{\text{事件区域的度量}}{\text{样本空间的度量}} = \frac{|A|}{|S|} \]

问题：点落入对角带区域的概率

在单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 中，随机撒下一点。求该点落在满足 $|y - x| \le 0.1$ 的区域内的概率。

样本空间 $S$：单位正方形，面积 $1$
事件区域 $A$：两条直线 $y = x - 0.1$ 和 $y = x + 0.1$ 围成的带状区域

即：

\[ A = \{(x, y) \in [0,1]^2 \mid |y - x| \le 0.1 \} \]

该带状区域可以表示为：

在正方形中剔除两个三角形：$x - y > 0.1$ 和 $y - x > 0.1$

则事件区域面积：

\[ P = 1 - 2 \times \frac{(0.9)^2}{2} = 1 - 0.81 = 0.19 \]

柯氏公理体系

基本概念

样本空间（Sample Space）：记作 $\Omega$，表示一次随机试验中所有可能结果的集合。

事件（Event）：样本空间 $\Omega$ 的子集，记作 $A \subseteq \Omega$。

事件包括：

基本事件：单个元素 $w_i \in \Omega$
事件 $A$：样本空间的任意子集 $A \subseteq \Omega$
必然事件：$\Omega$
不可能事件：$\varnothing$

事件集合（事件域） $\mathcal{F}$：样本空间 $\Omega$ 上的一个 $\sigma$-代数，包含所有可能的事件。满足以下性质： - $\Omega \in \mathcal{F}$ - 若 $A \in \mathcal{F}$，则 $A^c \in \mathcal{F}$ - 若 $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{F}$，则 $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{F}$

概率（Probability）：是事件在一定条件下发生的理论可能性，属于一个先验值，用 $P(A)$ 表示。

频率（Frequency）：在多次重复试验中，事件 $A$ 实际发生的相对次数。设进行 $n$ 次独立重复试验，其中事件 $A$ 发生了 $k$ 次，则频率为： $$ f_n(A) = \frac{k}{n} $$

随着试验次数 $n \to \infty$，事件 $A$ 的频率趋近于其概率：

\[ \lim_{n \to \infty} f_n(A) = P(A) \]

这称为大数定律（Law of Large Numbers）。

概率函数（Probability Function）：记作 $P$，定义在事件集合 $\mathcal{F}$ 上，满足以下性质： - $P: \mathcal{F} \to [0, 1]$ - $P(\Omega) = 1$ - 若 $A \in \mathcal{F}$，则 $P(A) \geq 0$ - 对于两两互不相交的事件 $A_1, A_2, \dots$，有 $P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$

柯氏三大公理

设 $P: \mathcal{F} \to [0, 1]$ 是定义在事件集合 $\mathcal{F}$ 上的概率函数，则：

非负性（Non-negativity）

\[ \forall A \in \mathcal{F}, \quad P(A) \geq 0 \]

规范性（Normalization）

\[ P(\Omega) = 1 \]

可列可加性（Countable Additivity）

若 $A_1, A_2, \dots$ 是两两互不相交的事件（即 $A_i \cap A_j = \varnothing, \forall i \ne j$），则：

\[ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) \]

由公理推导出的常用公式

单调性

若 $A \subseteq B$，则 $P(A) \leq P(B)$

有限可加性

若 $A \cap B = \varnothing$，则 $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

更一般地，若 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 两两互斥，则 $P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i)$

补集公式

$P(A^c) = 1 - P(A)$

差集公式

若 $A \subseteq B$，则 $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$

一般加法公式

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

事件间的关系

基本关系

包含关系（子集）

若事件 $A$ 发生时事件 $B$ 必然发生，称 $A$ 包含于 $B$，记作 $A \subseteq B$ 或 $B \supseteq A$。

相等关系

若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

并事件（和事件）

$A$ 或 $B$ 至少有一个发生，记作 $A \cup B$ 或 $A + B$。

集合表示：$A \cup B = \{ x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B \}$。
例子：掷骰子，$A$ = “点数 ≤ 3”，$B$ = “点数 ≥ 5”，则 $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 6\}$。

交事件（积事件）

$A$ 和 $B$ 同时发生，记作 $A \cap B$ 或 $AB$。

集合表示：$A \cap B = \{ x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B \}$。
例：掷骰子，$A$ = “点数为偶数”，$B$ = “点数 ≥ 4”，则 $A \cap B = \{4, 6\}$。

差事件

$A$ 发生但 $B$ 不发生，记作 $A - B$。

集合表示：$A - B = \{ x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B \}$。
例：掷骰子，$A$ = “点数 ≤ 4”，$B$ = “点数为奇数”，则 $A - B = \{2, 4\}$。

### 对立事件（补事件）

事件 $A$ 不发生的事件，记作 $\overline{A}$ 或 $A^c$，满足：

$$ A \cup \overline{A} = S, \quad A \cap \overline{A} = \varnothing $$

集合表示：$\overline{A} = S - A$。
例：抛硬币，$A$ = “正面朝上”，则 $\overline{A}$ = “反面朝上”。

# 特殊关系

### 互斥事件（互不相容事件）

$A \cap B = \varnothing$，即两事件不能同时发生。 - 性质：$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。 - 例：掷骰子，$A$ = “点数为 1”，$B$ = “点数为 3”，两者互斥。

### 独立事件

若 $P(B|A) = P(B)$，即 $A$ 的发生不影响 $B$ 的概率，则称 $A$ 与 $B$ 独立。

等价条件：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
注意区分：
互斥事件：$A \cap B = \varnothing \Rightarrow P(A \cap B) = 0$
独立事件：$A \cap B$ 可非空，但满足乘法公式
例子：抛两枚硬币，$A$ = “第一枚正面”，$B$ = “第二枚正面”，两者独立。

### 完备事件组（完备性 + 互斥性）

设事件组 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 满足：

两两互斥：$A_i \cap A_j = \varnothing,\ i \ne j$
并集为样本空间：$\bigcup_{i=1}^n A_i = S$

则称其为一个 完备事件组。

例：掷骰子，事件组：点数为 1、2、3、4、5、6，构成完备事件组。

# 事件关系的集合运算律

### 交换律

\[ A \cup B = B \cup A,\quad A \cap B = B \cap A \]

### 结合律

\[ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C),\quad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) \]

### 分配律

\[ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \]

### 德摩根律（对偶律）

\[ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \quad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \]

独立事件、非独立事件与条件概率

独立事件（Independent Events）

若事件 $A$ 的发生不影响事件 $B$ 的发生概率，称 $A$ 与 $B$ 相互独立，记作：

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

等价于：

\[ P(A|B) = P(A),\quad P(B|A) = P(B) \]

示例抛两枚硬币：

$A$ = “第一枚正面”，$P(A) = \frac{1}{2}$
$B$ = “第二枚正面”，$P(B) = \frac{1}{2}$

因为：

\[ P(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \]

所以 $A$ 与 $B$ 独立。

### 推广到多个事件的独立性

两两独立 ≠ 完全独立

设 $A_1, A_2, A_3$：

两两独立：$P(A_i \cap A_j) = P(A_i)P(A_j)$
完全独立：所有子集的交满足乘法规则，例如：

\[ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) \]

非独立事件（Dependent Events）

若 $P(A \cap B) \ne P(A) \cdot P(B)$，则 $A$ 与 $B$ 非独立。
说明一个事件发生会影响另一个事件的概率。

示例从一副扑克牌中抽两张，不放回：

$A$ = “第一张是红桃”，$P(A) = \frac{13}{52}$
$B$ = “第二张是红桃”

由于抽第一张后不放回，$B$ 的概率依赖于 $A$ 是否发生，因此 $A$ 与 $B$ 不独立。

条件概率（Conditional Probability）

设事件 $B$ 的概率 $P(B) > 0$，在 $B$ 已经发生的条件下，事件 $A$ 的发生概率称为 $A$ 在 $B$ 条件下的条件概率，记作 $P(A|B)$：

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{前提：} P(B) > 0 \]

$P(A|B)$ 表示“在 $B$ 已发生”的前提下，$A$ 的概率；
是一种修正后的概率，用来描述“依赖”关系；
若 $P(A|B) \ne P(A)$，说明 $B$ 的发生影响了 $A$ 的概率。

加乘法公式

从条件概率定义出发，有：

\[ P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A) \]

互斥事件的条件概率

若 $A$ 和 $B$ 互斥，则 $P(A|B) = 0$，因为 $A$ 和 $B$ 不能同时发生。

独立事件的条件概率

若 $A$ 和 $B$ 独立，则 $P(A|B) = P(A)$，因为 $B$ 的发生不影响 $A$ 的概率。

非独立事件的条件概率

若 $A$ 和 $B$ 非独立，则 $P(A|B) \ne P(A)$，说明 $B$ 的发生影响了 $A$ 的概率。

全概率公式与贝叶斯公式

设 $A_1, A_2, \dots, A_n$ 为完备事件组，则对任意事件 $B$：

全概率公式：

\[ P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i) \]

贝叶斯公式：

\[ P(A_j|B) = \frac{P(A_j) \cdot P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i)} \]

随机变量及概率分布

一维随机变量

随机变量：随机变量 $X$ 是实验结果的函数，将样本空间中的每个基本事件映射到实数集 $\mathbb{R}$ 上，它可以是离散的或连续的。

离散随机变量：取值为可数个离散点的随机变量。例如，掷骰子的点数。

连续随机变量：取值为连续区间的随机变量。例如，测量一个人的身高。

离散型随机变量的概率分布

概率分布：离散随机变量 $X$ 的概率分布是一个函数 $P(X = x)$，表示 $X$ 取值为 $x$ 的概率。

概率质量函数（PMF）：离散随机变量的概率分布可以用概率质量函数来表示，记作 $P(X = x)$，满足：

\[ \sum_{x} P(X = x) = 1 \]

例子：掷骰子，$X$ = “点数”，则 $P(X = 1) = \frac{1}{6}, P(X = 2) = \frac{1}{6}, \ldots, P(X = 6) = \frac{1}{6}$。

概率分布函数（CDF）：设随机变量 $X$，其分布函数（简称 CDF）为：

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

表示随机变量 $X$ 小于等于某个值 $x$ 的概率。

CDF 是 PMF 的累加：$F(x) = \sum_{x_k \leq x} P(X = x_k)$

二项分布

描述在 $n$ 次独立的伯努利试验中，事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率。记作 $X \sim B(n, p)$，其中 $p$ 是事件 $A$ 发生的概率。

概率质量函数（PMF）： $$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n $$

例子：抛硬币 10 次，$X$ = “正面朝上次数”，则 $X \sim B(10, \frac{1}{2})$。

分析：

样本空间：抛 10 次硬币，每次有 2 种结果（正面或反面），所以所有可能的结果有 $ 2^{10} = 1024 $ 种。

事件 $A$：正面恰好出现 5 次，选法有 $ \binom{10}{5} = 252 $种。

概率计算：每种结果等可能，所以 $$ P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}} = \frac{252}{1024} = 0.24609375 $$

代入公式计算：

假设 $n = 10$，$p = 0.5$，求 $P(X = 5)$：

计算组合数： $$ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252 $$

计算概率部分： $$ p^k = (0.5)^5 = 0.03125 (1-p)^{n-k} = (0.5)^{10-5} = (0.5)^5 = 0.03125 $$

代入公式： $$ P(X=5) = 252 \times 0.03125 \times 0.03125 = 252 \times 0.0009765625 = 0.24609375 $$

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import binom
from matplotlib.widgets import Slider

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

## 创建图形
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
plt.subplots_adjust(bottom=0.2)

## 初始参数
n_init, p_init = 10, 0.5

## 绘制函数
def plot_binomial(n, p):
    ax.clear()
    x = range(1, n + 1)
    pmf = [binom.pmf(k, n, p) for k in x]
    ax.bar(x, pmf, tick_label=x)
    ax.set_xlabel('k（正面朝上次数）')
    ax.set_ylabel('P(X = k)')
    ax.set_title(f'二项分布 PMF（n={n}, p={p}）')
    ax.grid(True, alpha=0.3)
    ax.set_ylim(0, max(pmf) * 1.1)

## 初始绘制
plot_binomial(n_init, p_init)

## 创建滑块
s_n = Slider(plt.axes([0.2, 0.1, 0.6, 0.03]), 'n', 1, 50, valinit=n_init, valstep=1)
s_p = Slider(plt.axes([0.2, 0.05, 0.6, 0.03]), 'p', 0.1, 0.9, valinit=p_init, valstep=0.1)

## 更新函数
def update(val):
    plot_binomial(int(s_n.val), s_p.val)
    fig.canvas.draw_idle()

s_n.on_changed(update)
s_p.on_changed(update)

plt.show()

泊松分布

描述在单位时间内或单位面积内，某事件发生的次数。记作 $X \sim P(\lambda)$，其中 $\lambda$ 是单位时间或面积内事件的平均发生次数。

概率质量函数（PMF）： $$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k !}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots $$

例子： - 某商店平均每小时接待 5 位顾客，则 $X \sim P(5)$，表示每小时接待顾客的次数。 - 在一定时间内某交通路口所发生的事故个数，也是一个典型的例子。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.stats import poisson

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

lambda_param = 5  ## 平均每小时5次
x = np.arange(0, 16)  ## 0~15次
pmf = poisson.pmf(x, lambda_param)

plt.bar(x, pmf, color='skyblue', edgecolor='black')
plt.xlabel('k（单位时间内事件发生次数）')
plt.ylabel('P(X = k)')
plt.title('泊松分布 PMF（λ=5）')
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.show()

图形说明：

横轴 $k$ 表示单位时间内事件发生的次数（如顾客数）。
纵轴 $P(X=k)$ 表示每种次数的概率。
每根柱子的高度就是对应次数的概率，所有概率之和为 1。可以把每根柱子看作“概率的面积”，所有柱子的面积加起来为 1。

# 由二项分布推导泊松分布

以投筛子为例，在投掷 $n$ 次独立重复试验中，每次事件发生的概率为 $p$，我们关心事件恰好发生 $k$ 次的概率。

此时，符合二项分布：$P_n(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

考虑极限情况： - $n$ 趋近于无穷大 - $p$ 很小（例如掷出“三个 1”的概率 $p = \frac{1}{216}$） - 保持 $np = \lambda$ 为常数

这种情况下，二项分布会趋近于泊松分布（Poisson Distribution）： $$ P(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} $$

推导过程：

原始二项分布公式：

\[ P_n(k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

展开组合数：

\[ P_n(k) = \frac{n(n-1)\cdots(n - k + 1)}{k!} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

当 $n \to \infty$, $p \to 0$, 且 $np = \lambda$ 固定：

$p^k = \left( \frac{\lambda}{n} \right)^k$
$(1 - p)^{n} \to e^{-\lambda}$
$\frac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{n^k} \to 1$（当 $n \gg k$）

因此：

\[ P_n(k) \approx \frac{n^k}{k!} \cdot \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \cdot e^{-\lambda} = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \]

这就是泊松分布的形式。

比如我们设置 $\lambda = 2$，那么可以取一组 $(n, p)$ 值：

为什么要保持 $np = \lambda$ 为常数不变？

假设 $p$ 的值为0.2，0.02，0.002等等，当 $n$ 越来越大时，$p$ 越来越小，但它们的乘积 $np$ 始终为 $\lambda = 2$。

这个条件有两个作用：

避免二项分布趋于 0 分布或确定性分布，若 $p$ 太小又不控制 $np$，则事件几乎不可能发生；
控制泊松分布的期望，泊松分布的期望是 $\mathbb{E}[X] = \lambda$，我们正是通过设置 $\lambda = np$，保证极限分布的中心值是合理的。

连续性随机变量的概率分布

离散型随机变量使用 PMF 函数来描述，而连续型随机变量则使用概率密度函数（PDF）。

概率密度函数（PDF, Probability Density Function）

连续型随机变量没有 $P(X = x)$ 的确切值；
用 概率密度函数 $f(x)$ 表示 $X$ 在某区间内的概率密度。

PDF 是 CDF 的导数，反过来 CDF 是 PDF 的积分：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt \quad\Longrightarrow\quad f(x) = \frac{dF(x)}{dx} \]

如何理解概率密度函数？

从分布函数 $F(x)$ 出发，来解释“密度”一词的含义：

取定某一点 $x$，考虑事件：$A = \{x < X \leq x + h\}$

其中 $h > 0$ 是一个小常数。根据分布函数的定义，事件 $A$ 的概率为：

\[ P(x < X \leq x + h) = F(x + h) - F(x) \]

这表示在区间 $(x, x + h)$ 内落入的概率。

我们对该区间的单位长度进行归一化处理，计算“单位长度上的概率”：

\[ \frac{F(x + h) - F(x)}{h} \]

这可以理解为：在点 $x$ 附近、长度为 $h$ 的区间中，每单位长度所包含的概率。

当 $h \to 0$ 时，该比值趋于分布函数的导数：

\[ \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = F'(x) = f(x) \]

这正是概率密度函数的定义：$\(f(x) = F'(x)$\)

表示在点 $x$ 处“概率的密集程度”，即单位长度上概率的瞬时变化率。

可以把整个概率看作一根极细、无限长的金属杆，其总质量为 $1$（对应总概率为 1）：

密度函数 $f(x)$ 就类似于金属杆在点 $x$ 处的质量密度；
它表示单位长度上“有多少质量”，也就是“有多少概率”。

连续型随机变量 $X$ 的密度函数 $f(x)$ 都具有以下三条基本性质：

$f(x) \geq 0$
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) , \mathrm{d}x = 1$
对于任何常数 $a < b$ 有 $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) , \mathrm{d}x \quad \text{(1.13)}$

正态分布

正态分布是最重要的连续型概率分布之一，广泛应用于自然和社会科学中。

概率密度函数（PDF）： $$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma2}} $$ 其中 $\mu$ 是均值（期望），$\sigma^2$ 是方差。

标准正态分布：当 $\mu = 0$，$\sigma^2 = 1$ 时，称为标准正态分布，记作 $Z \sim N(0, 1)$。

正态分布的累积分布函数（CDF）没有简单的解析形式，但可以通过数值方法或查表获得。通常使用标准正态分布表来查找 $P(Z \leq z)$ 的值，其中 $Z$ 是标准正态分布。

正态分布的性质：

对称性：正态分布关于均值 $\mu$ 对称。
68-95-99.7 规则：约 68% 的数据落在 $\mu \pm \sigma$ 范围内，约 95% 落在 $\mu \pm 2\sigma$ 范围内，约 99.7% 落在 $\mu \pm 3\sigma$ 范围内。
中心极限定理：许多独立同分布的随机变量之和趋向于正态分布，无论原始变量的分布如何。
线性变换：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $Y = aX + b$ 仍服从正态分布，且 $Y \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$。
多元正态分布：若 $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)^T$ 服从 $N(\mu, \Sigma)$，则 $X$ 的每个线性组合也服从正态分布。

指数分布

指数分布是描述事件发生时间间隔的连续型概率分布，常用于排队论、可靠性分析等领域。

概率密度函数（PDF）： $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $$ 其中 $\lambda > 0$ 是分布的参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。

累积分布函数（CDF）： $$ F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $$ CDF 描述了随机变量 $X$ 小于等于某个值 $x$ 的概率。

性质： - 无记忆性：对于任意 $s, t \geq 0$，都有 $P(X > s + t | X > s) = P(X > t)$ - 期望：$E[X] = \frac{1}{\lambda}$ - 方差：$Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$

间章

从图形上看： - PMF：一系列离散“柱子”（概率点） - PDF：平滑曲线（面积代表概率） - CDF：阶梯状或平滑的非减函数（从 0 增至 1）

如何理解： - CDF 对所有随机变量都存在（离散、连续、混合型）； - PMF 和 PDF 是特殊情形下的 CDF 微分形式； - 离散型中：$P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a^-)$； - 连续型中：$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。